Solidi platonici
I cinque poliedri regolari
Proclo, storico della matematica del V secolo dopo Cristo, legato alla filosofia neo-platonica, attribuisce a Pitagora la scoperta dei 5 poliedri regolari:
Pitagora, venuto dopo di lui (cioé di Talete) trasformò questa scienza in una forma di educazione liberale, riconducendone i principi a idee ultime e dimostrandone i teoremi in maniera astratta e puramente intellettuale. Fu lui a scoprire la teoria delle proporzioni e la costruzione delle figure cosmiche.
La mancanza di frammenti attribuibili a Pitagora rende difficilmente dimostrabile questa tesi, tuttavia nel Timeo di Platone, di poco successivo a Pitagora, troviamo una descrizione precisa dei 5 corpi regolari, cioé dei possibili solidi sfaccettati che abbiano le facce, gli spigoli e gli gli angoli, uguali tra loro. Platone userà questa straordinaria scoperta come simbologia dell’universo e dei suoi elementi base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l’aria (ottaedro) e l’acqua (l’icosaedro). Il quinto poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quinta essenza che tutto avvolge e comprende. La metafora ha un qualche senso matematico dato che è possibile dimostrare che l’unico poliedro regolare nel quale sia possibile inscrivere gli altri 4 è il dodecaedro. Questa tradizione neo-platonica resterà viva fino a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei pianeti in termini di poliedri e loro reciproche inclusioni.
La dimostrazione che sono possibili al massimo 5 corpi regolari si trova, come abbiamo detto, anche nel Timeo di Platone (e in tutti i testi di divulgazione su questo argomento) e non è difficile: dato che in ogni vertice del poliedro si deve creare un angoloide, ci vogliono almeno tre facce ed in più deve accadere che la somma degli angoli delle facce che concorrono a quel vertice deve essere minore di 360 gradi; in caso contrario infatti le facce si appiattirebbero in uno stesso piano. Questo implica che non è possibile avere facce esagonali o con un numero maggiore di lati dato che questi poligoni hanno angoli maggiori di 120 gradi. Restano dunque possibili solo 5 casi
- 3 facce pentagonali concorrenti in un vertice (108ox3= 324o< 360o)
- 3 facce quadrate concorrenti in un vertice (90ox3=270o<360o)
- 3 facce triangolari concorrenti in un vertice (60ox3=180o<360o)
- 4 facce triangolari concorrenti in un vertice(60ox4=240o<360o)
- 5 facce triangolari concorrenti in un vertice(60ox5=300o<360o)
Si vede quindi facilmente che non possono esistere più di 5 poliedri regolari, ma la cosa di gran lunga più sorprendente è che di fatto questi cinque esistono. Oltre al cubo che possiamo facilmente immaginare (le 6 basi sono quadrati uguali e gli angoli tra due basi sono tutti retti) esistono altri quattro corpi con tutte queste caratteristiche di regolarità e simmetria che abbiamo richieste. Possiamo di fatto costruire un corpo solido sfaccettato, con 5 triangoli equilateri che concorrono in ogni vertice, che si chiude e che appare, qualunque sia la base su cui venga appoggiato, identico a se stesso. Quante facce avrà questo oggetto? quanti vertici? Ugualmente esistono i corrispondenti solidi per ognuno delle possibilità elencate innanzi. L’effettiva costruzione di questi poliedri, che è patrimonio distintivo della cultura scientifica occidentale, e che non ha uguali nella matematica cinese o indiana o babilonese, si trova nel tredicesimo libro degli Elementi di Euclide e rappresenta in un certo senso il punto di arrivo della geometria classica. Queste costruzioni, che non sono facili, nei libri di divulgazione sono generalmente omesse trascurando in questo modo proprio gli aspetti più ingegnosi e stimolati della geometria euclidea.
Tetraedro
4 facce triangolari
6 spigoli
4 vertici
Cubo
6 facce quadrate
12 spigoli
8 vertici
Ottaedro
8 facce triangolari
12 spigoli
6 vertici
Dodecaedro
12 facce pentagonali
30 spigoli
20 vertici
Icosaedro
20 facce triangolari
30 spigoli
12 vertici
Tetraedro(4,6,4)(3,3) | Cubo(6,12,8)(4,3) | Ottaedro(8,12,6)(3,4) | Dodecaedro(12,30,20)(5,3) | Icosaedro(20,30,12)(3,5) |
La tabella indica per ogni solido platonico la terna 
ed una coppia 
, con 
pari al numero di lati di ogni faccia e 
pari al numero di spigoli su ogni vertice (cioè la sua valenza). Cubo e ottaedro sono duali, dodedaedro e icosaedro sono duali. Il tetraedro è duale a se stesso (la dualità inverte le terne e le coppie di numeri nelle tabelle).
Il centro di ogni solido platonico è anche centro di una sfera inscritta (interna e tangente a tutte le facce) e di una sfera circoscritta (esterna e contenente tutti i vertici).
I poliedri, per essere regolari, oltre ad avere come facce poligoni regolari tutti uguali, devono anche avere tutti gli spigoli e i vertici equivalenti.
I solidi platonici giocano un ruolo centrale nella geometria solida: sono i solidi che presentano la maggiore regolarità possibile e il maggior numero di simmetrie. I loro gruppi di simmetrie hanno collegamenti con le sezioni più disparate della matematica. Hanno inoltre un posto di rilievo nella storia del pensiero greco, arabo e rinascimentale. Platone, nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all’ottaedro l’aria, all’icosaedro l’acqua, mentre ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell’universo.
Categorie:V10.02- Arte e Matematica
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